Calcul de pendents de neu amb bastons

Problema

Mesura de pendents en la neu fent servir els bastons d’esquí

Hi ha una manera de mesurar ràpidament una pendent de neu amb bastons d’esquí. El procediment és el següent:

1.Estirar el bastó sobre la neu, seguint la línia de màxima pendent amb el mànec a la part de sota.

2.Marcar amb una ratlla sobre la neu l´extrem inferior del bastó.

3.Sense que es mogui de posició la roseta del bastó sobre la neu, agafar els dos bastons per la dragonera i pujar els mànecs de forma que el segon bastó quedi totalment vertical (penjant) i amb la roseta just sobre la neu. Marcar aquesta posició.

4.Mesurar la distància entre les marques (a).

Calcular la pendent de la neu u en funció de la distància entre marques a i de la longitud L del bastó (veure la figura).

Solució:

Per la construcció realitzada és evident que la suma dels angles u i t és de 90º, és a dir:

A més pel teorema del sinus sabem que la relació entre el costat d’un triangle i el sinus de l’angle oposat és la mateixa pels tres costats del triangle, en el nostre cas:

D’aquesta relació es comprova fàcilment que els angles s i t són iguals:

La suma dels tres angles d’un triangle és 180 graus, es a dir:

Combinant les equacions I, III i IV obtenim els 3 angles en funció de l’angle de la pendent u:



Observant que a + b = L i tornant aplicar l’equació II obtenim a en funció de L i u:







La fórmula anterior ens permet fer una taula amb els valors d’a en funció de L i u. Però el que volem és obtenir directament la pendent u en funció de L i a. Per això farem servir dues equacions comunes:





Combinant les equacions V, VI i VII obtenim la fórmula desitjada: